フーリエ級数の描画

矩形波などの波形や手描きの絵を、回転する円（エピサイクル）の連なりで描きます。円の数を変えて元の形に近づいていく様子や、ギブズ現象を確かめられます。

項（円）の数5 / 50

f(x) = 4/π · (sin x + sin 3x / 3 + sin 5x / 5 + …)

奇数次の項だけでできています。項を増やしても、跳び上がるところのすぐ脇に約 9% の行き過ぎ（ギブズ現象）が残ります。

項の数: 5
最高次数: 9
再現できたエネルギー: 95.9%
近似の最大値: 1.182

係数の大きさ（次数ごと）

n 次の項 sin(nx) の振幅です。濃い棒が近似に使っている項です。

使い方

「波形」では、矩形波などの波形を sin の波の足し算で近づけます。左で回る円の先端の高さが、右へ波形として流れていきます。
「絵」では、形を回転する円の連なりでなぞります。キャンバスをマウスや指でなぞると、自分で描いた形を描かせられます。
「円の数」を増やすほど元の形に近づきます。「再現できたエネルギー」は、元の形のうちどれだけを表せているかの目安です。
「円の並べ方」を「大きい順」にすると、少ない円でも形が早く見えてきます。「周波数の低い順」は、フーリエ級数を低い次数から順に足していくのと同じです。
キーボードでは Space で再生 / 一時停止、← → で円の数を 1 つずつ増減します。

フーリエ級数のしくみ

周期的な波形は、周波数が 1 倍・2 倍・3 倍…の sin と cos の波の足し算（フーリエ級数）で表せます。それぞれの波は、一定の速さで回る円の上の点の高さと同じなので、円を次々につなげると、先端の高さが波形を描きます。

平面の曲線では、点 (x, y) を複素数 x + iy とみなします。曲線を等間隔の点に分けて離散フーリエ変換すると、係数 c_k が得られ、曲線は Σ c_k e^ikt と書けます。これは「半径 |c_k| の円が 1 周の間に k 回まわる」ことを足し合わせたもので、絵を描く円の連なり（エピサイクル）になります。このアプリでは曲線を 256 点に分けるので、円は最大 255 個です。

係数の 2 乗の和は、元の形の「エネルギー」（2 乗平均）と等しくなります（パーセバルの等式）。使わなかった円の分だけ、元の形とのずれが残ります。

ギブズ現象

矩形波やのこぎり波のように値が急に跳ぶ波形では、項をいくら増やしても、跳ぶところのすぐ脇に跳びの大きさの約 9% の行き過ぎが残ります。項を増やすと行き過ぎの幅は細くなりますが、高さは減りません（矩形波では、近似の最大値が 1.18 前後から下がりません）。一方、三角波のように途切れない波形では、係数が速く小さくなり、少ない項でもよく似た形になります。